Autor Thema: Zwergenrätsel  (Gelesen 4471 mal)

Offline Mithrandir21

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Zwergenrätsel
« Antwort #15 am: 30. März 2007, 19:58:50 »
Ein Trick könnte darin bestehen, einfach entsprechend viele Farbwörter zu definieren, die dann sagen "x von der ersten und y von der zweiten Farbe". Natürlich wird dann der Zwerg, der das sagt, höchstwahrscheinlich irgendeine Farbe sagen, die gar nicht vorkommt.
Die Namen der drei Kakteen: Fridolin II., Erwin und Jochen "das Unkraut".
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Offline Mithrandir21

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Zwergenrätsel
« Antwort #16 am: 30. März 2007, 20:09:21 »
Ach SOOO, ja. *patsch*

Die richtige Lösung geht aber anders, und Dein Bekannter hatte Recht. Ein kleiner Tipp: Es geht auch mit beliebig vielen Zwergen, die alle gute Mathematiker sein sollten. Und es darf sich keiner verrechnen.
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Offline JanZ

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Zwergenrätsel
« Antwort #17 am: 30. März 2007, 23:34:07 »
Ja, er sagte auch, dass es mit beliebig vielen Zwergen und Farben ginge. Du hast also eine Lösung gefunden? Dann denke ich noch mal nach.

Offline Mithrandir21

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Zwergenrätsel
« Antwort #18 am: 31. März 2007, 10:43:25 »
Richtig, beliebig viele Farben gehen auch. Das fiel mir gestern noch ein. Nur ein paar Bedingungen:
1) Es müssen endlich viele Zwerge sein, wobei die genaue Zahl unwichtig ist.
2) Es müssen endlich viele Farben sein.
3) Die Farben müssen vorher bekannt sein.

Und ein paar praktische Tipps:
1) Jeder Zwerg braucht bei einer hinreichend großen Zahl einen Taschenrechner oder ein Blatt Papier samt Stift. (Auch der erste Zwerg braucht dies!!!)
2) Bei hinreichend vielen Farben brauchen sie ebenfalls ein Blatt Papier.
3) Verrechnen ist GAAANZ schlecht!!! Es sei denn, dass der sich verrechnende Zwerg sofort nach dem Vertun aufgeklärt wird, nach dem Motto "nein, das ist falsch, Du hast diese und jene Farbe auf".
3) Einer der Zwerge sollte mal einen Universitätskurs in Mathematik besucht haben, damit er auf die Lösung auch kommt.
(Es geht vielleicht auch ohne Kurs, aber ich vermute, dass es deutlich schwieriger ist. Ich jedenfalls habe das notwendige Wissen erst in der Uni als solches kennengelernt, auch wenn es vorher schon im Prinzip vorhanden war.)

Und bei Interesse kann ich auch einen Hinweis in die richtige Richtung geben.

PER PN!!!!!!
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Offline Porridge

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Zwergenrätsel
« Antwort #19 am: 3. April 2007, 15:17:30 »
Interessantes Rätsel!

Es ist klar, dass nicht alle Zwerge garantiert gerettet werden können, da der hinterste, der zuerst gefragt wird, seine eigene Farbe nicht kennt. Wenn also überhaupt N-1 Zwerge gerettet werden sollen, muss jeder andere seine Farbe sagen - daraus, aus dem, was sie selber sehen, und dem, was der erste Zwerg gesagt hat, müssen sie ihre eigene Farbe entschlüsseln.

Ich habe noch keine wirklich elegante Lösungsstrategie, aber hier vielleicht mal der Versuch eines Beweises, dass es überhaupt eine Lösung gibt, und gleichzeitig eine Strategie, für die den Zwergen keine großen Rechenkünste, dafür aber ein phänomenal gutes Gedächtnis abverlangt wird:

Angenommen, es gibt N Zwerge, und M verschiedene Farben. Dann gibt es M^N verschiedene Anordnungen, wobei uns der erste Zwerg nicht interessiert. Nehmen wir nun an, die Zwerge machen eine Liste aller M^(N-1) Permutationen, die der erste Zwerg sehen kann, und numerieren sie folgendermaßen durch:

{F1, F1, F1, ... } -> 1, {F2, F1, F1, ... } -> 2 , ... ,                              {FM, F1, F1, ... } -> M

{F1, F2, F1, ... } -> 2, {F2, F2, F1, ... } -> 3 , ... ,  {FM-1, F2, F1, ... } -> M,  {FM, F2, F1, ... } -> M-1

...

{F1, FM, F1, ... } -> M, ...

...

Wobei F1, F2 usw die Farben von 1 bis M numeriert, die Numerierung der Zwerge ist ihre Position in der Permutation - jede hat in diesem Fall N-1 Elemente.

Die Abbildung ist genau das, was der erste Zwerg ansagen muss. Der zweite Zwerg sieht N-2 Zwerge vor sich, die Anzahl der möglichen Permutationen je nach Farbe seiner Mütze reduziert sich also auf von M^(N-1) auf M - genausoviel, wie ihm der erste Zwerg mitteilen kann, er braucht also nur in seiner Tabelle nachzuschauen, welcher Permutation die Farbe entspricht, die ihm der erste Zwerg gesagt hat, und sagt dann die in dieser Permutation zu ihm passende Farbe.
Für den dritten Zwerg stellt sich das ganz ähnlich dar, er kennt wiederum die Farben aller Zwerge vor ihm, und nun auch die hinter ihm - es bleiben ihm also wiederum M unterschiedliche Permutationen zu unterscheiden, was er mit obiger Numerierung anhand der Ansage des ersten Zwerges *eindeutig* tun kann. So kommt man bis zum letzten Zwerg...

Eine Lösung, die ohne so ein phänomenales Gedächtnis auskommt, dafür aber höhere Mathematik (Primfaktorzerlegung vielleicht?) erfordert, würde mich aber nun wirklich interessieren - gerne auch als PN.

GAST

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Zwergenrätsel
« Antwort #20 am: 3. April 2007, 18:41:50 »
Hallo zusammen!

Ich finde das Rätsel faszinierend und grübel schon seit einigen Tagen. Aber was ich hier lese, ist mir zu kompliziert. Seit gestern habe ich eine Idee, die viel einfacher ist, und ich meine, dass sie funktioniert.

Der 1. Zwerg sieht 29 Zwerge mit - sagen wir mal - roten, blauen und gelben Mützen. Die 29 ist eine ungerade Zahl. Wenn man sie in drei Summanden zerlegt, dann hat man entweder drei ungerade Zahlen oder eine ungerade Zahl und zwei gerade Zahlen.

Angenommen, die Zwerge einigen sich auf folgenden Code: Der 1. Zwerg sagt rot, wenn er eine ungerade Anzahl von roten Mützen und eine jeweils gerade Anzahl der anderen Mützen sieht. Er sagt blau, wenn er eine ungerade Anzahl von blauen Mützen sieht und eine gerade Anzahl der anderen Farben. Er sagt gelb, wenn ... . Sieht er drei ungerade Anzahlen von Mützen, weigert er sich zu antworten.

Der Zwerg, der als nächster an der Reihe ist, braucht jetzt doch nur noch seinerseits zu zählen und kann messerscharf schließen, welche Farbe seine Mütze hat, oder nicht? Und da er laut seine Farbe nennt, kann auch der nächste weiterzählen und immer schön auf gerade und ungerade Anzahlen achten, denn dadurch müsste doch jeder weitere Zwerg seine eigene Mützenfarbe erkennen können, oder?

Meine letzte Überlegung dazu: Damit der arme erste Zwerg seine Überlebenschance verbessert, sollte man vielleicht noch die Codes "rot" und "Antwort verweigern" in ihrer Bedeutung vertauschen, denn schweigen zu müssen, bedeutet für ihn sicher den Tod. Dieser Zwerg tut mir echt leid. Kann jemand von euch seine Überlebenschance ausrechnen? Meine Mathekenntnisse reichen dazu leider nicht aus.

Offline Mithrandir21

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Zwergenrätsel
« Antwort #21 am: 3. April 2007, 18:59:49 »
Mit der von mir angewendeten Methode ist sie 1/ Anzahl der Farben.
Die Möglichkeit, nicht zu antworten, nutze ich nicht.
Meine Methode funktioniert auch mit 31 Zwergen, oder mit 4 Farben.


PS: Porridge kennt die Lösung jetzt.
« Letzte Änderung: 3. April 2007, 19:12:34 von Mithrandir21 »
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GAST

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Zwergenrätsel
« Antwort #22 am: 3. April 2007, 21:00:49 »
@Mithrandir: Ich denke, das meine Methode auch mit 31 Zwergen oder jeden anderen (geraden oder ungeraden) Anzahl funktioniert. Bei 31 Zwergen sähe der 1. Zwerg 30 andere. 30 ist eine gerade Zahl, deren 3 Summanden entweder alle gerade oder grade und zweimal ungerade sind. Die Nennung einer Farbe würde dann bedeuten: gerade Anzahl dieser Farbe und ungerade Anzahl der beiden anderen. Und Schweigen bedeutet dann drei gerade Summanden.
Statt zu schweigen, kann mein Zwerg natürlich auch eine Farbe verkünden, die nicht im Spiel ist und die die Zwerge im Vorfeld hierfür abgesprochen haben, z.B. orange.

 

Bei vier Farben wird´s komplizierter, ist aber möglich, wenn man Farben nennen darf, die es so nicht als Mützenfarbe gibt. Ich würde es so machen:

Hat der 1. Zwerg eine ungerade Anzahl Zwerge vor sich, dann sind die vier Summanden entweder 3x gerade 1x ungerade oder 3x ungerade und 1x gerade. Er könnte dann z.B. mit hellrot, hellblau, hellgelb, hellgrün die eine ungerade Anzahl verkünden oder mit dunkelrot, dunkelblau, dunkelgelb, dunkelgrün die eine gerade Anzahl der jeweiligen Farbe.

Hat der 1. Zwerg (bei vier möglichen Farben) eine gerade Anzahl Zwerge vor sich, dann sind die Summanden entweder alle gerade, alle ungerade oder zur Hälfte gerade und ungerade. "Alle gerade" und "alle ungerade" ist leicht mit jeweils einer Farbe zu codieren. Im letzen Fall (zur Hälfte gerade und ungerade) muss der 1. Zwerg den anderen Zwergen aber mitteilen, welche Farben jeweils ein Paar bilden. Angenommen, sie einigen sich darauf, dass dann das Pärchen der geraden Summanden verkündigt wird. Da die Reihenfolge (ob z.B. rot-blau oder blau-rot) egal ist, käme man, falls ich mich nicht verzählt habe, mit 6 Codes aus; insgesamt also ebenfalls 8, die aber schwieriger zu merken wären, da sie nicht so selbsterklärend sind wie die bisherigen.



Mithrandir, habe ich dich richtig verstanden, das dein 1. Zwerg für das ursprüngliche Rätsel eine Überlebenschance von 1/3 hätte? Oder meinst du mit "Anzahl der Farben" die Anzahl der Farben, die du zum Codieren verwendest. Wie viele wären das für dann für das Ausgangsrätsel?


 

GAST

  • Gast
Zwergenrätsel
« Antwort #23 am: 3. April 2007, 23:15:33 »
Hallo Gast,

Ja, deine Methode ist schön, aber sie löst nicht das gleiche Problem: "Schweigen" ist keine mögliche Antwort-Alternative, und sowohl meine Methode als auch die von Mithrandir kommen ohne aus.

Der erste Zwerg hat in jedem Fall eine Chance von 1/3, denn selbst wenn er frei wählen könnte (unabhängig von dem Ziel, die anderen Zwerge zu retten) weiß er ja nicht, welche Mütze er trägt - dabei spielt es keine Rolle, wie seine Entscheidung zustande kommt.

Offline Mithrandir21

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Zwergenrätsel
« Antwort #24 am: 3. April 2007, 23:31:13 »
Lieber Gast,
der erste Zwerg, der antwortet, hätte beim ursprünglichen Rätsel eine Überlebenschance von 1/3. Bei N mitspielenden Farben hat er eine Überlebenschance von 1/N.

Wenn man Farben nehmen kann, die nicht mitspielen, kann man auch einfach codieren, dass man für jede mögliche Kombination von Hüten vor einem eine andere Farbe nimmt.
So nach dem Motto:
Wenn der erste rot, der zweite blau, und der dritte grün hat, dann sage "violett".
Wenn der erste rot, der zweite auch rot, und der dritte grün hat, dann sage "schwarz".

Und so weiter. Es sind dann vielleicht unglaublich viele Kombinationen zu merken, aber es existiert eine Lösung.
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